|
Главная
Наши услуги
Предлагаются разработки (и не только)
Выполненные проекты
Скачать для работы
А вы точно конструктор?
Инструментарий конструктора
Отвечаю на вопросы
Проверьте свою эрудицию
Как меня найти
Ерофеев Николай Николаевич
Телефон
+7-911-224-05-24
e-mail:
unimech
yandex.ru,
unimech
37.com
Мой ICQ №
567159914
Санкт-Петербург
|
Инструментарий конструктора
Нет ничего практичнее хорошей теории
( Л. Больцман)
Все ваши теории – это… теории.
А на практике всё по-другому.
Опыт ничем не заменишь!
( Все троечники всех времен и народов)
А мы и не будем опыт ничем заменять. Более того, без опыта порой в
конструировании не обойтись. Только речь, конечно, не о том опыте, которым на
словах богаты все, кто упрятал подальше дипломный вкладыш с оценками. Речь – об
эксперименте.
К сожалению, человеческая мысль пока не всесильна и создать точную теорию всех
процессов не может. Увы, до сих пор нет адекватного описания процессов,
происходящих в сыпучих телах. В широкой полемике рождаются уравнения теории
упругости и колебаний. Двигателестроение, теплопередача, гидравлика,
вентиляция, взрывотехника – вот далеко не полный перечень тех отраслей, где
формулы, казалось бы, есть, а результат – на радость троечнику. Поэтому и
существуют автоматы, которые сутками, месяцами хлопают дверью вновь созданной
легковушки, испытывая замок, или гнут подошву нового ботинка. Без таких
экспериментов, на уже созданном объекте, пока не обойтись.
Я же попытаюсь рассказать о тех опытах, которые не требуют разрушения уже
созданной вещи. О тех опытах, которые часто облегчают и удешевляют
конструирование, помогают выбрать оптимальные размеры, назначить требуемые
технические характеристики. О тех опытах, которые проводятся на дешёвой модели,
и без которых иногда просто непонятно, с чего начинать…Речь – о теории подобия
и анализе размерностей. Изумительно изящный, простой и подкупающий
всесильностью математический аппарат.
Представьте себе встречу двух старых знакомых. Один восклицает:«Ты похудел!
Сколько весишь-то?». «Скинул до 80» - гордо отвечает второй. « А я по-прежнему,
стабильно – 5! Спасибо спорту.» - парирует первый. При этом оба весят
одинаково. Как такое может быть?
Очень просто. Друзья называли вес, принимая за единицу веса разные величины.
Бывший толстяк – килограммы. Спортсмен – пуды. Точно так же длину улицы можно
выразить метрами, футами, аршинами и парсеками. И каждый раз будут разные
числа. А Незнайка и его друзья наверняка о таких величинах и не слышали. Им
удобнее длину измерять в сантиках, силу в форсиках, время в таймиках, а
ускорение в аксиках. Вот такая у них система единиц. И наше ускорение
свободного падения 9,8 м/с2 в их системе – это 258 аксиков. Я точно знаю.
Итак: меняется система единиц – меняется число, выражающее одну и ту же
размерную величину. Но что важно – законы Ньютона и Гука будут выполняться в
любой такой системе. И движение воды, текущей по нашим трубам или по
Незнайкиным, сделанным из наших трубочек от капельниц, будет подчиняться одним
и тем же уравнениям. Потому что всё это – законы Природы, а у неё нет ни
единиц измерения, ни систем всяких…Это мы всё напридумывали.
Всякое уравнение потому и уравнение, что уравнивает левую и правую части. Не
только числа, но и размерности. Ну нельзя приравнивать пять литров в секунду
пяти крокодилам, даже если тех и других – пять! А уж коли на
Земле существуют разные системы единиц и разные размерности, то почему бы не
ввести вместо размерности длины – просто L? Что это – спросите вы? Не знаю.
Может, метры. А, может – дюймы. Но уж точно - то, что можно измерить линейкой.
Вместо размерности времени введём Т. Для размерности массы подыщем значок - М.
Для силы – F. Для мощности – N. Очевидно, что размерность скорости будет
выражаться так:
Квадратными скобками принято обозначать размерность физической величины.
Заметили? Размерность скорости зависит от размерностей длины и времени. Она
так и называется – зависимая размерность. А размерности массы, времени и
модуля Юнга - независимые. Их друг через дружку не выразишь.
Среди величин, описывающих Природу, есть такие, которые не измеряются ни в чём.
Просто число, без размерности. Например – коэффициент трения. Или число
. Или угол.
Стоп! – скажете вы. Даже распоследний неуч знает, что углы измеряются в
градусах!
Конечно – отвечаю я. Или в радианах. Или в энгликах – в Незнайкиной стране. Но
что такое, к примеру, радиан? Это отношение длины дуги окружности к её радиусу.
То есть
Как видим, при определении размерности угла получилось просто число, единицы
измерения пропали. Это и означает, что угол – вещь безразмерная. Сколько лупу к
нему ни прикладывай – угол не увеличится. Градусы и секунды – это опять наши
придумки, чтоб легче друг друга понимать. Важно лишь усвоить, что в силу своей
безразмерности коэффициент трения шины по сухому асфальту и в нашей, и в
Незнайкиной стране будет выражаться одним и тем же числом 0,5…0,7 – в отличие
от размерных величин, например, ускорения (см. выше). И угол, который мы
называем
рад , у них тоже будет тем же самым углом, и синус его у них тоже равен 0,5.
А теперь – первый постулат анализа размерностей.
Всякую размерную величину можно представить в виде
где: a, b, c, d, e – какие-то физические размерные величины,
- показатели степени,
С – какой-то безразмерный коэффициент.
Поясним примером.
Мне доподлинно известно, что перед полётом на Луну коротышки из Цветочного
города под руководством Знайки проводили эксперимент по выяснению времени
падения тела с той или иной высоты.
При этом Знайка предположил, что время падения может зависеть от массы тела,
высоты и ускорения свободного падения, которое отражает притяжение Земли или
Луны.
Эту догадку он записал так:
(1)
где: t - время падения,
С- неизвестная пока безразмерная константа,
m – масса тела,
h – высота падения,
g – ускорение свободного падения.
Очевидно, размерности слева и справа должны совпадать.
Выпишем их:
Подставим в формулу (1):
Равенство размерностей означает равенство показателей степеней у одноимённых
величин.
А теперь посмотрим, что есть слева и справа.
Показатель у T слева равен 1. А справа
. Значит,
Размерности M слева вообще нет. Это значит, что она как бы там…но с показателем
степени =0. А справа её показатель
. Итак:
.
Аналогично для L получим:
.
Из полученных равенств имеем:
Подставим в формулу (1):
А теперь вдумаемся: что же мы получили? Фонтан выводов! Во-первых, выяснили,
что от массы время падения не зависит. Во-вторых, не написав ни одного
дифференциального уравнения, как того требует динамика, получили вполне
приличную формулу. Даже не зная, что такое С, уже можно видеть, что при
увеличении h в 4 раза, время падения увеличится только в 2 раза. И если на Луне
величина g в 6 раз меньше, чем на Земле, то падение будет длиться в
, то есть в 2,45 раза дольше. Ай да Знайка!
Задача 7.2.1 А что скажете, уважаемые коллеги – конструкторы, по поводу
скорости падения на Луне? Если g там в 6 раз меньше, то с какой скоростью
упадёт отвалившаяся лебёдка с плохо рассчитанной буровой вышки?
И, наконец, как быть с неизвестной безразмерной величиной С? Да очень просто.
Провести всего один-единственный опыт! В наших, Земных, условиях! Взять камень
любой массы, скинуть с любой высоты и измерить время. Не забыть при этом, что
- мы же в наших условиях опыт проводим, а не в Незнайкиных. Очевидно, из
формулы (2) следует:
Догадываетесь, какое число получим? Да-да, те самые 1,41, то есть
, которые чётко выдает теоретическая механика, если она не забыта. То есть
окончательно формула будет выглядеть так:
Ну, разве не здорово? Никаких теормехов – сопроматов, никаких дифференциалов –
функционалов, всего лишь несколько несложных рассуждений и один эксперимент – и
задача решена!
А теперь новость печальная. Анализ размерностей сам по себе, без дополнительных
опытов или математических выкладок, не позволяет определить величину С. Кроме
того, если в число определяющих величин кроме размерных входят и безразмерные –
тоже дело «труба». Создать формулу с применением таких величин этот аппарат не
сможет. Ну разве что самую простенькую, типа (2), да и то после дополнительных
рассуждений. И также не сможет соорудить зависимость, где используется
разность или сумма. У Знайки были большие трудности при проектировании
воздушного шара, так как подъемная сила зависела от разности плотностей воздуха
и гелия (или водорода?). Но эксперимент и тут его выручил.
Еще раз взглянем на формулу (3). Помните, что С – это безразмерная величина? И
получена из размерных! И равна она 1,41 как у маленьких человечков, так и у
нас, и на Луне! Вот такие безразмерные комбинации размерных величин называются
критериями подобия. Такие критерии для некоторых физических процессов уже давно
найдены. Например, критерий (число) Рейнольдса, критерий Фруда и др. И если мы
хотим на модели изучить явление, которое надо воплотить в промышленных
масштабах, то надо найти критерии подобия для этого явления и обеспечить
равенство одноимённых критериев на модели и на натуре. В этот – суть теории
подобия.
В нашем случае это будет выглядеть так:
где индексы
m
и
n
соответствуют модели и натуре. Заметьте: для подобия нам не нужно знать точное
выражение времени падения. Можно сразу приступать к эксперименту. Достаточно
всего один раз бросить камень в Земных условиях, и из формулы (5) тут же
высчитывается время падения на Луне, причем для любой высоты.
Именно равенство критериев подобия, а не простое пропорциональное уменьшение
всех размеров (геометрическое подобие), делает физическое явление на модели
подобным тому же на натурном объекте. Для правильных выводов о том, что будет
происходить в реальных условиях, иногда приходится исхитряться. Бывает, что все
параметры критерия подобия на модели уже до предела изменены, а он всё еще не
равен натурному критерию. Но в критерий входит
. Как в Земных условиях изменить ускорение свободного падения? Прибегают к
центрифуге.
Воду заменяют маслом или шампунем - манипулируя вязкостью и плотностью, воздух
- водой. Обеспечить равенство критериев подобия - не всегда простая задача.
Решение задачи 7.1.2
Конечно, разобранный пример примитивен. И всё прошло так гладко потому, что
количество физических параметров, определяющих суть явления, оказалось мало. У
нас их было три: m (оказалась не нужна), g, h. И основных размерностей, которые
используются в механике – тоже три: L, M, T. Если определяющих величин
становится больше – задачка усложняется. Но не становится неразрешимой. В
частности, можно попытаться ввести векторные размерности:
Можно ввести две массы: меру инерции
и количество вещества
. Есть и другие приёмы. В теории подобия рассматриваются принципы создания
критериев, в том числе из точного математического описания процесса, четко
определяется их количество, рассматриваются возможности неполного подобия.
Я не ставил целью обучение планированию эксперимента. Это особая наука. Мне
хотелось показать один из способов, помогающих конструктору решать задачи даже
в тех областях, где наука пока слаба или явление непонятно. Попозже я покажу на
этом сайте, как с помощью моделирования можно определить прогиб перекрытия, то
есть решить одну из задач, точное математическое описание которых есть далеко
не во всех справочниках. А даже если и есть, то двойные и тройные интегралы…
оно вам надо?
Конечно, современные расчётные программы, основанные на методе конечных
элементов, - это мощный прорыв в решении проектно-конструкторских проблем. И
статически неопределимые задачи в металлоконструкциях, и теплоперенос, и
аэродинамика, и колебания – многое становится им под силу. Но… грамотное
применение таких программ требует до-о-олгого их изучения, о точности таких
решений можно долго спорить, а значения многочисленных коэффициентов,
требуемых для такого решения, имеют колоссальный разброс и часто берутся из
опыта. А уж если проводить опыт, то не проще ли весь…?
|
|
|
